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【概率笔记】这些概率公理性质你需要会的呀

  • Elli_ON
  • 2
  • 2019-03-10 09:22

导读

概率论是AI的基础学科,如果想学的深的话,概率论必不可少的一门呀!概率基础还没有看的小伙伴们,可以看下面的链接啦:

【概率论】基础之概率概论与集合论

今天的主要内容为概率的一些基本公理以及它的证明和应用。慢慢的来,每天进步一丢丢。

 

概率三公理(Axioms of Probability)

公理是大家公认的定理,不需要证明,也无法证明。很多的学科的发展都是建立在一些公理的基础上的,也就是说公理都是很简单的,一看就知道就是这么回事。比如概率的公理有三个:

公理一

注:我们的所有研究都是建立在任何事物的概率都是非负数

公理二

注:S是所有可能的集合,所有可能的概率当然就是1啦

公理三

注:事件互斥,那么它们交的概率就为各自的概率之和。该公理搭起了集合运算和概率运算的桥梁。

上述三公理是之后证明各种概率定理的前驱,所以也被誉为神圣三公理!

公理三的一个应用:

从一副52张扑克牌中抽出一张,是A(Ace)的概率是?

很简单,A有四种花色,每种都互斥,那么计算过程就为:

 

公理衍生之概率定理

定理一

注:空集表示该事件一直没有结果,比如筛子一直转不停,虽然不现实。我觉得这个式子的作用就是为了数学好计算啦。

证明:

这里就需要用到上述的三大公理了

注:先证互斥,再根据公理二,三推导。(先证互斥的原因是,公理三用到互斥的前提)

定理二

注:A^c为A的补集

证明:

注:先证互斥,再根据公理二,三推导。

定理三

注:A-B为A减去和B相同的部分

画图证明:

假设A,B为

那么黄色区域A

那么转换成公式为:

注:依然是先证明A-B和A并B互斥(由上图可知),再根据公理三推导即可。

定理四

注:A和B交的概率等于各自的概率,减去A,B的并

画图证明:

假设A,B为

                                                                           

A交B的部分为

那么上图可表示为

公式证明为

就性质四举个生活小栗子

比如街上碰到一个人,他们爱吃甜口或者咸口的概率是?

当然就为上述公式啦:

定理五(切面包定理)

若C1...Cn互斥,且他们的交集为S,则对于任意事件A来说:

画图表示为

注:当然,A也可以不属于某些Ci

就该定理,举一个生活中的小栗子:

阿宅暗恋某可爱女店员。她的笑容打开了他的心扉。阿宅注意到她的笑容会受到生意的影响,于是他每天记录她的生意和她的笑。店生意有满(人满),普(普通),惨(萧条)三个状态,而她有笑,怒两个状态。根据记录:

那么她的笑的概率怎么计算呢?

我们可以充分利用上述定理,即:

公式为:

定理六

画图表示为:

定理七

对任意n个事件,A1,...,An来说,有

                                       Boole's不等式:

                                Bonferroni's不等式:

注:最后两个就不证明了,很好理解哒。

reference

概率视频  叶丙成 台湾大学


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